選題背景

英國(guó)數(shù)學(xué)家Alfred North Whitehead提出“數(shù)學(xué)的本質(zhì)不僅是邏輯，更是模式與美的科學(xué)”，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)本身具有和諧之美，而審美直覺(jué)能促進(jìn)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性思維，可見(jiàn)數(shù)學(xué)與美學(xué)原本就具有深層聯(lián)系。當(dāng)下教育改革提倡“五育融合”，如何將美育滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和審美價(jià)值是重要的研究課題。普通高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線”包含豐富的美學(xué)元素，是展現(xiàn)數(shù)學(xué)美的重要載體，也是利用美學(xué)促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的巧妙著力點(diǎn)。但目前課堂教學(xué)中，教師注重知識(shí)的教授、運(yùn)算技巧的講解，常常忽視了美學(xué)與數(shù)學(xué)的交互。

《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》作為“圓錐曲線”教學(xué)內(nèi)容的起始課，在研究策略和思想方法上起著重要的引領(lǐng)作用，且具有豐富的美育要素可挖掘。例如，章頭語(yǔ)圓錐曲線的原始定義可以體現(xiàn)圓錐曲線的統(tǒng)一美，從三維空間的原始定義到二維平面的第一定義的銜接可以感悟多種定義的和諧美等。因此，本文以《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》為例進(jìn)行美育浸潤(rùn)的教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)踐。

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷從具體情境抽象出橢圓的過(guò)程，掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。

橢圓的定義有多種呈現(xiàn)形式，本課例根據(jù)教材主要呈現(xiàn)圓錐曲線的原始定義和第一定義，從三維空間中讓學(xué)生感受圓錐曲線的統(tǒng)一性，從二維平面中讓學(xué)生理解橢圓第一定義的嚴(yán)謹(jǐn)性。

2.通過(guò)繪制橢圓的過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)識(shí)橢圓定義，經(jīng)歷方程的推導(dǎo)過(guò)程培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

通過(guò)感受—發(fā)現(xiàn)—驗(yàn)證定義，體會(huì)數(shù)學(xué)定義概念的簡(jiǎn)潔、嚴(yán)謹(jǐn)、統(tǒng)一，是數(shù)學(xué)中美學(xué)的體現(xiàn)；經(jīng)歷建系—設(shè)點(diǎn)—化簡(jiǎn)方程，用美學(xué)啟發(fā)數(shù)學(xué)思維，激發(fā)創(chuàng)造力，落地核心素養(yǎng)。

3.感受并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究過(guò)程中美的呈現(xiàn)，對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和思想的理性美充滿好奇與欣賞。

利用平面截圓錐的模型展示、旦德林雙球模型展示以及拉線作圖的實(shí)踐操作，感受數(shù)學(xué)的模型美、形狀美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和探索的欲望。

教學(xué)設(shè)計(jì)創(chuàng)新

1.引入方式的創(chuàng)新。

本課例沒(méi)有直接引入“拉線作圖”情境得出橢圓定義，而是選用兩個(gè)情境層層遞進(jìn)引出橢圓定義。一是利用章頭語(yǔ)介紹圓錐曲線統(tǒng)一定義，引出“橢圓”；二是利用點(diǎn)光源照射球?qū)嶒?yàn)引出“焦點(diǎn)”，并借助旦德林雙球模型展示二維平面橢圓上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)之間的關(guān)系。這一設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了橢圓定義從三維空間到二維平面的平穩(wěn)過(guò)渡，使學(xué)生的認(rèn)知理解更加自然和順暢。

2.美學(xué)引領(lǐng)問(wèn)題串的推導(dǎo)方式創(chuàng)新。

課例中并未采用以教師為主導(dǎo)的方式進(jìn)行方程的推導(dǎo)，而是通過(guò)學(xué)生小組合作的形式，配套具有指引性的問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方程化簡(jiǎn)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美。

3.豐富動(dòng)態(tài)展示的技術(shù)創(chuàng)新。

課例多處設(shè)置了動(dòng)態(tài)模型、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，旨在提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，借助動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，引導(dǎo)學(xué)生體悟感性美到理性美的升華。

教學(xué)實(shí)施

1.立足全章，構(gòu)建定義—感受形狀美、模型美

師：圓錐曲線的名稱由何而來(lái)？它與圓錐有什么聯(lián)系？

情境1：GGB動(dòng)態(tài)展示平面截圓錐模型（見(jiàn)圖1）

師：用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線是一個(gè)圓，如果改變圓錐的軸與平面形成的角，會(huì)得到怎樣的曲線？

圖1

【師生互動(dòng)】用不垂直于圓錐曲線的軸的平面截圓錐，直觀觀察得到不同曲線，有橢圓、雙曲線、拋物線，統(tǒng)稱為圓錐曲線，引導(dǎo)學(xué)生理解曲線名稱的來(lái)源和三種曲線之間必然存在的緊密聯(lián)系。

師：在之前直線與圓的學(xué)習(xí)研究中，我們體會(huì)了坐標(biāo)法研究幾何的魅力與威力，現(xiàn)在延續(xù)這種思路，繼續(xù)研究橢圓。

情境2：生活實(shí)驗(yàn)?zāi)M旦德林雙球模型

【師生互動(dòng)】教師用手電筒照射桌面放置的乒乓球，學(xué)生觀察球的影子形狀。當(dāng)光線垂直于桌面，影子為圓形；當(dāng)光線斜射小球時(shí)，影子為橢圓形。影子為圓形時(shí)，圓心就是球與桌面的切點(diǎn)，影子邊緣上的點(diǎn)到切點(diǎn)距離不變，是圓的定義。啟發(fā)學(xué)生思考影子為橢圓形時(shí)，此時(shí)的切點(diǎn)到影子邊緣的距離是否不變。

師：當(dāng)影子為橢圓形時(shí)，切點(diǎn)在一邊，這個(gè)切點(diǎn)位置是做不到距離不變的。1個(gè)切點(diǎn)辦不到，猜測(cè)可能會(huì)有幾個(gè)？

【模型介紹】光線是無(wú)限延展的，延展開(kāi)的光線是一個(gè)圓錐，小球是與圓錐內(nèi)切，桌面相當(dāng)于一個(gè)平面截圓錐且與小球相切，事實(shí)上，下方也有一個(gè)大的球與圓錐和平面同時(shí)相切。這個(gè)模型就是著名的旦德林雙球模型，這里呈現(xiàn)的兩個(gè)切點(diǎn)就是橢圓的關(guān)鍵要素“焦點(diǎn)”（見(jiàn)圖2）。

圖2

師：兩個(gè)焦點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)有什么量化關(guān)系？

【師生互動(dòng)】教師拖動(dòng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)距離之和不變。數(shù)據(jù)度量直接證明橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值，教師可從幾何角度簡(jiǎn)單說(shuō)明定值的原因。

2.歸納定義，推導(dǎo)方程—發(fā)現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)美、簡(jiǎn)潔美

活動(dòng)1：拉線作圖驗(yàn)證第一定義

師：橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值，反過(guò)來(lái)，若滿足到兩定點(diǎn)距離之和為定值，點(diǎn)的軌跡一定是橢圓嗎？接下來(lái)自己動(dòng)手驗(yàn)證，請(qǐng)按照教材的探究畫(huà)一畫(huà)。

【師生互動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生在白紙上用釘子固定兩個(gè)點(diǎn)，并用一個(gè)繩子連接，進(jìn)行拉線作圖（見(jiàn)上頁(yè)圖3），然后改變兩個(gè)點(diǎn)的距離，研究觀察。

師：在作圖過(guò)程中，什么時(shí)候軌跡是橢圓？線段關(guān)系如何？

圖3

生：三個(gè)點(diǎn)可以形成三角形時(shí)，要滿足PF1+PF2>F1F2。

師：改變兩點(diǎn)間距離后發(fā)現(xiàn)了什么？

生：當(dāng)兩點(diǎn)間距離和繩子長(zhǎng)度一樣時(shí)，軌跡就是線段F1F2；當(dāng)距離超過(guò)繩子長(zhǎng)度時(shí)就畫(huà)不出來(lái)，不存在。

【定義析出】平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1F2的距離和等于常數(shù)2a（2a>|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓。

活動(dòng)2：小組合作推導(dǎo)橢圓方程

師：請(qǐng)小組合作，根據(jù)以下幾個(gè)問(wèn)題，通過(guò)坐標(biāo)法探索橢圓的方程。

問(wèn)題1：如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言嚴(yán)謹(jǐn)刻畫(huà)橢圓的定義？

問(wèn)題2：如何建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，使設(shè)點(diǎn)更加合理？

問(wèn)題3：如何化簡(jiǎn)方程，使方程便于記憶，稱之為“標(biāo)準(zhǔn)方程”？

【師生互動(dòng)】利用定義，學(xué)生很快得出符號(hào)語(yǔ)言的表述：PF1+PF2=2a（2a>F1F2）。追求簡(jiǎn)潔性與對(duì)稱性，一般以F1F2為x軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P（x，y），F1（-c，0）F2（c，0），利用兩點(diǎn)間距離公式，得出方程：

此時(shí)的方程不具有美觀性和可記憶性，啟發(fā)學(xué)生通過(guò)移項(xiàng)、平方、化簡(jiǎn)尋求簡(jiǎn)潔美，得到

但式子結(jié)構(gòu)不具備對(duì)稱美，繼續(xù)優(yōu)化引入b，

并利用關(guān)系找到b在幾何圖形中的位置，最終得出

3.回顧反思，提煉升華—欣賞過(guò)程美、方法美

師：本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，回顧是如何一步步探究的？

生：通過(guò)平面截圓錐發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的存在，找到橢圓；旦德林雙球模型引出焦點(diǎn)發(fā)現(xiàn)了橢圓上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值，拉線作圖嚴(yán)謹(jǐn)驗(yàn)證橢圓軌跡形成的條件，得出橢圓的第一定義，最后通過(guò)坐標(biāo)法得出標(biāo)準(zhǔn)方程。

師：通過(guò)數(shù)學(xué)的視角，我們?cè)跈E圓形中感受到哪些美學(xué)瞬間？

生：橢圓的形狀具有對(duì)稱美，方程有簡(jiǎn)潔美和對(duì)稱美，圓錐曲線的原始定義具有統(tǒng)一美，橢圓的第一定義具有嚴(yán)謹(jǐn)美……

【PPT呈現(xiàn)】（見(jiàn)圖4）

圖4

4.及時(shí)鞏固，熟練應(yīng)用—拓展思維美、應(yīng)用美

教師可通過(guò)以下例題幫助學(xué)生及時(shí)練習(xí)并鞏固所學(xué)知識(shí)。

例1：已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)

且它的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程？

例2：如果橢圓

上的一點(diǎn)P與焦點(diǎn)F1的距離為6，那點(diǎn)P與另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離是多長(zhǎng)？

（李婷 作者單位系浙江省長(zhǎng)興縣太湖高級(jí)中學(xué)）

《人民教育》2025年第15-16期，原文有修改